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By Malcolm S. Longair
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Sinngemäß erhalten wir grad f(x, y, z) = ( 6! ) oy' oz Seine Eigenschaften bleiben erhalten. Nur ist jetzt der Gradient ein Vektor im dreidimensionalen Raum und der Begriff der Höhenlinien muß ersetzt werden durch Flächen gleichen Niveaus oder Niveauflächen. Damit besitzt der Gradient bei Funktionen dreier Veränderlicher folgende anschauliche Eigenschaften: • Der Gradient steht senkrecht auf Flächen gleichen Funktionswertes. • Der Betrag des Gradienten ist ein Maß für die Änderung des Funktionswertes pro Wegeinheit senkrecht zu den Niveauflächen.
Y c) V1- "' Die Funktion z = 4' - ~ stellt ein Halbellipsoid über der x-y-Ebene dar . Die Schnittkurven mit der x-z-Ebene und der y-z-Ebene sind Halbellipsen. 4 A Homogenes Vektorfeld: f) a) ' Radialsymmetrisches Vektorfeld: b) ' d) ' g) B tlttr) ptlt~ " '\. "-·-/ '\J/ 1 "c) lL~'\ , /~-~-~,/ ' b) t /' - -"'1/ ·/i"',/ ~ d) '- . 1 Die partielle Ableitung Die geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion mit einer Variablen ist bekanntlich die Steigung der Tangente an die Funktionskurve. Wir befassen uns nun mit dem Problem, Steigungen für Flächen im Raum zu bestimmen.
Beispiel: Gesucht ist die Masse einer rechteckigen Säule (Grundfläche a · b, Höhe h), bei der die Dichte exponentiell mit der Höhe abnimmt. p =Po e-<>z 46 15 Mehrfachintegrale, Koordinatensysteme Physikalisch interessant ist dieses Beispiel für die Berechnung der Masse einer rechteckigen Luftsäule über der Erdoberfläche. Aufgrund der Schwerkraft nimmt die Dichte der Luft mit der Höhe exponentiell ab. (Barometrische Höhenformel). po ist die Dichte für z = 0 auf der x-y-Ebene. Im Falle der barometrischen Höhenformel hat die Konstante im Exponenten die Form 1 Po a=-·g Po Die Masse wird über das Mehrfachintegral berechnet =j h M 0 jj 0 h a b Po e-az dxdydz 0 Nach der Berechnung des inneren Integrals erhalten wir: h M =j 0 j b Po e-az [xJ~ y =j h dydz 0 0 j b X Po a · e-az dydz 0 Nach der Berechnung des mittleren Integrals erhalten wir: h M =j Po ae-az [y]~ =j h dz 0 Po abe-a• dz 0 M Es bleibt die Berechnung des äußeren Integrals: h j M 0 ab = abpoe-a•dz Po[-~ e-az]: ab -Po· a (1 - e- ah) h Mit wachsendem h wächst die Masse nicht beliebig an, sondern nähert sich einem Grenzwert.