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By Yves Laszlo
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Example text
Prouvons i). Soit x un ´el´ement primitif de K/k de minimal P ∈ k[X]. Visiblement, KL = L[x] et le minimal Q de x sur L divise P de sorte que ses racines sont dans K comme celles de P et a fortiori dans KL. Comme P est a ` racines simples, ceci prouve que KL/L est galoisienne. Plus pr´ecis´ement, on a Q = (X − xi ) o` u xi ∈ K sont certains conjugu´es de x, et donc est aussi dans K[X] ce qui prouve qu’on a Q ∈ (K ∩ L)[X]. Prouvons la surjectivit´e de r. Soit alors g ∈ Gal(K/K ∩ L). On a g(Q(x)) = Q(g(x)) car Q est a ` coefficients dans K ∩ L.
Le morphisme χ : Gal(Q[ζn ]/Q) → (Z/nZ)∗ est un isomorphisme. 11. — Soit n ≥ 1 et p premier ne divisant pas n. Montrer que si Φn mod (p) a une racine dans x ∈ Fp , alors x est d’ordre exactement n dans F∗p . En d´eduire qu’on a p ≡ 1 mod (n) puis qu’il existe une infinit´e de nombres premiers congrus a ` 1 modulo n (forme faible du th´eor`eme de la progression aritm´etique de Dirichlet). 3. Intersections de corps cyclotomiques. — Soit d divisant n de sorte que Q[ζn ] contient Q[ζd ]. La correspondance de Galois pr´edit que Q[ζd ] correspond a` un sous-groupe de Gal(Q[ζn ]/Q) de cardinal ϕ(n)/ϕ(d), qui doit ˆetre le noyau de la surjection Gal(Q[ζn ]/Q) → Gal(Q[ζd ]/Q).
Soit R = PGCD(Q, Px ) ∈ L[X]. ` LA THEORIE ´ INTRODUCTION A DE GALOIS 39 L’algorithme d’Euclide prouve que le calcul de PGCD est invariant par changement de corps. On peut faire par exemple ce calcul dans Ω. Comme Px est `a racines simples, on a (X − x ). R(X) = x tels que Q(x )=Px (x )=0 Si on ´ecrit Py = (X − y ), les racines de Q s’´ecrivent z − ty = x + t(y − y ). L’ensemble {x |Q(x ) = Px (x ) = 0} est donc r´eduit a` x d`es qu’on a choisi t = 0 en dehors du nombre fini de t tels qu’il existe y = y et x v´erifiant x = x + t(y − y ) ie t = x −x .