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By Pekka Sammallahti
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Chapitre II Courants, structures complexes Ce chapitre introduit deux notions : l’une de nature différentiable, la notion de courant, et l’autre de nature analytique, la notion de variété analytique complexe et les structures complexes associées, que nous utiliserons abondamment dans la suite de ce volume. Nous définissons tout d’abord les courants, qui sont l’équivalent pour les formes différentielles des distributions pour les fonctions, puis nous nous intéressons au problème de la régularisation des courants définis sur une variété différentiable de classe Ce problème, qui a une solution simple dans le cas de IR” grâce à la convolution, nécessite I’introduction de noyaux ayant des propriétés voisines de celles des noyaux de convolution.
D'après l'étude du cas de CY, J a les propriétés voulues et l'uni- cité de J assure l'indépendance du choix des coordonnées. O Étudions maintenant la relation entre les structures complexes de T,X et CT,X. L'application J : T,X + T,X est IR-linéaire et satisfait J2= - Id, elle ne possède donc pas de valeurs propres réelles et pour la diagonaliser on est amené à considérer l'extension naturelle de J en une application @-linéaire,notée encore J, de CT,X dans lui-même. Cette extension possède alors deux valeurs propres i et -2.
Soit X une variété analytique complexe de dimension n. Si f est une fonction de classe C1 sur X, pour tout z E X on a + On peut donc écrire df = d f 8f où d f est une forme différentielle de type (1,O) s u r X e t d f uneformedetype ( 0 , l ) s u r X . Remarquons que la condition f E O ( X )est alors équivalente à 8f = O.