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By Vladimir I. Arnold, T. Damm
Nach seinem bekannten und viel verwendeten Buch ?ber gew?hnliche Differentialgleichungen widmet sich der ber?hmte Mathematiker Vladimir Arnold nun den partiellen Differentialgleichungen in einem neuen Lehrbuch. In seiner unnachahmlich eleganten paintings f?hrt er ?ber einen geometrischen, anschaulichen Weg in das Thema ein, und erm?glicht den Lesern so ein vertieftes Verst?ndnis der Natur der partiellen Differentialgleichungen. F?r Studierende der Mathematik und Physik ist dieses Buch ein Muss.
Wie alle B?cher Vladimir Arnolds ist dieses Buch voller geometrischer Erkenntnisse. Arnold illustriert jeden Grundsatz mit einer Abbildung. Das Buch behandelt die elementarsten Teile des Fachgebiets and beschr?nkt sich haupts?chlich auf das Cauchy-Problem und das Neumann-Problems f?r die klassischen Lineargleichungen der mathematischen Physik, insbesondere auf die Laplace-Gleichung und die Wellengleichung, wobei die W?rmeleitungsgleichung und die Korteweg-de-Vries-Gleichung aber ebenfalls diskutiert werden. Die physikalische instinct wird besonders hervorgehoben. Eine gro?e Anzahl von Problemen ist ?bers ganze Buch verteilt, und ein ganzer Satz von Aufgaben findet sich am Ende.
Was dieses Buch so einzigartig macht, ist das besondere expertise Arnolds, ein Thema aus einer neuen, frischen Perspektive zu beleuchten. Er l?ftet gerne den Schleier der Verallgemeinerung, der so viele mathematische Texte umgibt, und enth?llt die im wesentlichen einfachen, intuitiven Ideen, die dem Thema zugrunde liegen. Das kann er besser als jeder andere mathematische Autor.
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Aufgabe 2. Kl¨ aren Sie die Details des Beweises. Aufgaben mit Trickfilmen“ ” Mit Hilfe der d’Alembertschen Formel kann man Folgen von Bildern eines ” Trickfilms u ¨ber eine schwingende Saite“ zeichnen, wenn man die Graphen der Anfangswerte kennt. Beispiel. Es sei ψ ≡ 0, und der Graph von ϕ sehe aus wie in Abb. 4; dabei ist ϕ = 0 auf einem Intervall der L¨ ange 1. Abb. 4. Die Anfangsbedingungen Dann hat die d’Alembertsche Formel die Gestalt u(t, x) = ϕ(x − at) + ϕ(x + at) 2; sie beschreibt das Aussehen der Saite in aufeinanderfolgenden Zeitpunkten, Abb.
Kl¨ aren Sie die Details des Beweises. Aufgaben mit Trickfilmen“ ” Mit Hilfe der d’Alembertschen Formel kann man Folgen von Bildern eines ” Trickfilms u ¨ber eine schwingende Saite“ zeichnen, wenn man die Graphen der Anfangswerte kennt. Beispiel. Es sei ψ ≡ 0, und der Graph von ϕ sehe aus wie in Abb. 4; dabei ist ϕ = 0 auf einem Intervall der L¨ ange 1. Abb. 4. Die Anfangsbedingungen Dann hat die d’Alembertsche Formel die Gestalt u(t, x) = ϕ(x − at) + ϕ(x + at) 2; sie beschreibt das Aussehen der Saite in aufeinanderfolgenden Zeitpunkten, Abb.
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