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By Wolfgang Nolting
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Example text
60) Rπ R y m m x m ϕ ϕ Abb. 19. Realisierung einer Zykloide durch Abrollen eines Rades auf einer Ebene Der erste Term für x ist die Abrollbedingung, der zweite resultiert aus der Raddrehung. Wir können die Gleichung für y nach ϕ auflösen und in die Gleichung für x einsetzen. 60) liefert damit eine Zwangsbedingung. Eine weitere ist z ≡ 0. Es bleiben für den Massenpunkt m somit S = 3 − 2 = 1 Freiheitsgrade. Als generalisierte Koordinate q empfiehlt sich der Winkel ϕ. Mit x˙ = R q˙ (1 + cos q) ; y˙ = −R q˙ sin q berechnen wir die kinetische Energie: T= m 2 x˙ + y˙ 2 = m R2 q˙ 2 (1 + cos q) .
Q2 entspricht dem durch die „Rauigkeit“ der Unterlage dem Zylinder aufgezwungenen Drehmoment. 3) Rollen eines Rades auf rauer Unterfläche Dieses System haben wir bereits in Abschn. 1 als Anwendungsbeispiel für nichtholonome Zwangsbedingungen diskutiert. Wir übernehmen die Notation des Beispiels (B,2) aus Abschn. 1 und wählen als „generalisierte“ Koordinaten: q1 = x ; q2 = y ; q3 = ϕ ; q4 = ϑ . 14) durch ˙ =0; x˙ − R cos ϑ ϕ ˙ =0 y˙ − R sin ϑ ϕ 44 1. Lagrange-Mechanik wiedergegeben. 95) ( p = 2): a11 = 1 ; a21 = 0 ; a12 = 0 ; a22 = 1 ; a13 = −R cos ϑ ; a23 = −R sin ϑ ; a14 = 0 ; a24 = 0 .
53) Jede zyklische Koordinate führt automatisch auf einen Erhaltungssatz. Deswegen sollte man generalisierte Koordinaten stets so wählen, dass möglichst viele zyklisch sind. In unserem Beispiel ist q1 zyklisch. Dies bedeutet: p1 = ∂L = m1 + m2 q˙ 1 + m2 l q˙ 2 cos q2 = const . ∂q˙ 1 Wir lösen nach q˙ 1 auf: q˙ 1 = c − m2 l q˙ 2 cos q2 m1 + m2 und integrieren: q1 (t) = c t − m2 l sin q2 (t) + a . m1 + m2 Wir benötigen vier Anfangsbedingungen: q1 (t = 0) = 0 ; q˙ 1 (t = 0) = − q2 (t = 0) = 0 ; m2 l ω0 ; m1 + m2 q˙ 2 (t = 0) = ω0 .