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By Fumihiko Sakata, Ke Wu, En-Guang Zhao
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Discutere come cambierebbero le risposte alle domande precedenti nel caso che la transizione a → 2a avvenisse in modo adiabatico, cio`e in un tempo molto lungo rispetto alla scala dei tempi caratteristici del sistema. 34. Un elettrone con lo spin diretto lungo l’asse z positivo attraversa un campo magnetico B diretto come l’asse x. Dopo un tempo τ si misura nuovamente il suo spin. Quale e` la probabilit`a di trovare lo spin capovolto? Questa probabilit`a pu`o essere uguale a 1? 35. Una particella di massa μ e` soggetta al potenziale V = 1/2μω 2 x2 , e al tempo t = 0 e` descritta dalla funzione d’onda: ψ(x, 0) = N ∑ √ 2 −n ψn (x), n essendo ψn gli autostati dell’energia relativi agli autovalori Wn = (n + 1/2)¯hω.
32. L’Hamiltoniana di un oscillatore con frequenza variabile nel tempo e` data da: H = ω(t) aˆ† aˆ + λ (t) (aˆ + aˆ† )ω(0) = 1, λ (0) = 0 . Si consideri lo stato iniziale ψ(0) = |z essendo |z autostato di aˆ con autovalore z. Si determini al tempo t > 0: √ i) il valore medio di xˆ = (aˆ + aˆ† )/ 2; ii) il valore medio dell’energia H(t) . Traccia. Utilizzare la descrizione di Heisenberg. 33. Una particella di massa μ si trova in una buca infinita di larghezza a. Assumendo che la particella sia nello stato fondamentale e che al tempo t = 0 la buca venga trasformata in modo infinitamente rapido in una nuova buca di ampiezza 2a, calcolare: i) la probabilit`a che la particella si trovi nello stato fondamentale della nuova buca di potenziale; ii) il valor medio dell’energia all’istante t > 0.
Ii) Calcolare il valore di aspettazione di Sz al tempo t, nel caso che all’istante iniziale il sistema sia in un autostato di Sz con autovalore h¯ . 22. Una particella di massa μ si muove in una buca infinita con 0 < x < a. All’istante t = 0 la funzione d’onda della particella e` data da: ψ0 (x) = Nx(a − x) per 0 < x < a, e ψ0 (x) = 0 altrove. Esprimere la funzione d’onda ψ(x,t) al tempo t sotto forma di serie, valutando esplicitamente i coefficienti dello sviluppo. 23. Come il problema precedente, con : ψ0 (x) = N ( a/2 − |a/2 − x|) per 0 < x < a, e ψ0 (x) = 0 altrove.