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By Klaus Jänich
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Zentralblatt für Mathematik
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Um nun eine Funktion/: G -+ C oder w = w(z) anschaulich darzustellen, werden verschiedene Wege beschritten. 4 Figur 42a. 2 Figur 42b. Höhenlinien des Imaginärteils v(z) 24 Kap. II: Analytische Funktionen d. h. man veranschaulicht die reellwertigen Funktionen u(z) = Ref(z) und v(z) = Imj(z) durch ihre Niveaulinien in G. Wenn man dann beide Kurvenscharen übereinanderzeichnet, erhält man ein Netz auf G, mit dessen Hilfe sichj(z) = u(z) + iv(z) jeweils ablesen läßt. 6 Figur 43. als "Funktionsgebirge" über G darstellen und darauf die "Argument-Linien" einzeichnen.
Im geschlitzten Kreisring ist jedoch L 00 n=-oo "*-1 eine Stammfunktion. n+1 an_z_ _ + a_1 lnz n+1 An dem Schlitz macht die Stammfunktion einen Sprung der Höhe 2 rr i a _ 1 • Die Zahl a_ 1 eICheißt das "Residuum" der Laurentreihe. Rückschau auf das Kapitel li Analytisch oder holomorph heißen die komplex differenzierbaren Funktionen. Es gelten die üblichen Ableitungsregeln. Anschaulich bedeutet die Analytizität, daß das reelle Differential eine Drehstreckung oder Null ist. Bijektive wirrkeltreue Abbildungen (bijektiv und Differential überall Drehstreckung =t=O) heißen konform; ihre Umkehrung ist wieder konform, insbesondere analytisch.
2 Konformität 27 Diese anschaulichen Betrachtungen haben soweit mit Analytizität noch gar nichts zu tun, ja eigentlich nicht einmal mit komplexen Zahlen, denn sie gelten für jede "total differenzierbare", z. B. stetig partiell differenzierbare Abbildung von einem offenen Bereich G C jR2 in der reellen (x,y)-Ebene in die reelle (u, v)-Ebene, und daß eine Abbildung unter dem Mikroskop linear zu sein scheint, ist eben eine saloppe Ausdrucksweise für die totale DifferenzierbarkeiL Mit der linearen Abbildung jR2 -+ IR2 , die man unterm Mikroskop zu sehen glaubt, ist das Differential dfzo der Abbildung bei Zo gemeint, das ist bekanntlich die nahe Zo beste lineare Approximation für f; gegeben durch die Jacobi-Matrix, die Matrix der partiellen Ableitungen an der Stelle z0 , wobei wir hier, wie man häufig tut, die partiellen Ableitungen in der Index-Schreibweise notiert haben, also ux: = ~~ usw.