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By Helmut Fischer, Helmut Kaul
Wie im ersten Band ihres Werkes stellen die Autoren die mathematischen Grundlagen der Physik in intestine zugänglicher und ansprechender shape dar. Das Buch eignet sich sowohl für das Selbststudium als auch zur Begleitung von Vorlesungen.
Read Online or Download Mathematik für Physiker Band 2: Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, mathematische Grundlagen der Quantenmechanik PDF
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F¨ ur alle (ξ, η) mit | ξ − ξ0 | ≤ r η − η0 ≤ R und alle (k, h) mit | k | ≤ und h ≤ R gilt 2 2 2 r , 2 J(ξ + k, η + h) ⊃ J ⊃ I und ϕ(x, ξ + k, η + h) − ϕ(x, ξ, η) ≤ κ | k | + h f¨ ur x ∈ J. Ersteres folgt aus (c) wegen η + h − η 0 < R, | ξ + k − ξ0 | < r. F¨ ur die zweite Behauptung betrachten wir w(x) = ϕ(x, ξ + k, η + h) − ϕ(x, ξ, η) . 2 ( UA w(x) ≤ ( h + M | k |) eL |x−ξ| ≤ ( h + M | k |) eL δ . 5 Die Variationsgleichung (a) Zu gegebener L¨ osung x → u(x) von y = f (x, y) heißt die homogene lineare DG y = A(x) y mit der Matrix A(x) := Dy f (x, u(x)) die linearisierte Differentialgleichung (Linearisierung, Variationsgleichung) der gegebenen Differentialgleichung l¨ angs der L¨ osung u.
U(x) = ur x0 ≤ x ≤ x0 + r, was im Widerspruch zur Wahl von x0 steht. h. es gibt eine eindeutig bestimmte L¨ osung u : I → n auf einem Intervall I = [ξ − δ, ξ + δ] mit δ > 0 . Diese ist gleichm¨ aßiger Limes der Picard– Iterierten uk , gegeben durch die Iterationsvorschrift u0 (x) = η , x uk+1 (x) = η + f (t, uk (t)) dt f¨ ur k = 0, 1, . . ξ 5 Existenz von L¨ osungen 35 Beweis. (a) Wahl von δ. Wir bestimmen zun¨ achst r > 0, R > 0 so, dass der Zylinder | x − ξ | ≤ r, Z = (x, y) y−η ≤ R ganz in Ω liegt.
F¨ ur festes (f) Die C1 –Differenzierbarkeit von ϕ bez¨ (ξ, η) aus dem obengenannten Bereich setzen wir diesmal x v(x) := ϕ(x, ξ + k, η) = η + f (t, v(t)) dt , ξ+k x w(x) := − k Y (x) f (ξ, η) = −k f (ξ, η) + A(t) w(t) dt ξ und wollen jetzt f¨ ur s(x, k) := v(x) − u(x) − w(x) zeigen, dass es zu gegebenem ε > 0 ein δ > 0 und Konstanten C1 , C2 gibt mit (∗) ur |x − ξ| < δ. s(x, k) ≤ (C1 ε + C2 k) k f¨ Wir w¨ ahlen dabei δ > 0 gleich so klein, dass (∗∗) f (ξ, η) − f (t, η) < ε f¨ ur |t − ξ| < δ. Wir erhalten (∗) durch Absch¨ atzung von x x f (t, v(t)) dt − s(x, k) = ξ+k x f (t, u(t)) dt + k f (ξ, η) − ξ x ξ+k x R(t, u(t), v(t)) dt + = A(t) w(t) dt ξ ξ (f (ξ, η) − f (t, v(t))) dt .